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Taller 11 · Control

Simulacro 1 del Parcial 1

Dos puntos con la misma forma del parcial real: una ecuación diferencial que termina en t_s y sobreimpulso, y un diagrama con perturbación que termina en «escoge la ganancia y justifica». Lo resuelves en papel, escribes tus números aquí, y la página te califica y te abre las soluciones.

⏱ 90 minutos de examen + 30 de revisión
De dónde sale esto. Está calibrado con el Parcial 1 de Mojica-Nava del 30 de septiembre de 2025 (motor que mueve una válvula, 40 %; control de nivel de un tanque con perturbación, 60 %). Los sistemas y los números son nuevos; la forma de preguntar es la misma. Teoría de apoyo: Dorf & Bishop 10.ª ed., capítulos 2, 4 y 5. Todo número se comprobó en verif/v11.py por dos caminos: álgebra con sympy y simulación con scipy.
🧑‍🏫 Así lo hace el profe
  1. RecetaNombra, ecuación, despeja, apaga, límite, compara: los seis movimientos del profe sirven para los dos puntos del simulacro.
  2. EstableAntes de cualquier \lim_{s\to0}, revisa \Delta(s).
Verlo con tus apuntes de clase (taller 15) →
En este taller

1 Para qué sirve y cómo se presenta

Los diez talleres anteriores te enseñaron cada pieza por separado. Un simulacro mide otra cosa: si puedes encadenar las piezas sin ayuda y dentro del tiempo. Por eso aquí no hay pistas mientras resuelves. Las pistas y las soluciones vienen después de entregar.

Ruta para los 90 minutos
  1. Minutos 0 a 5: lee los dos puntos completos y escribe al lado de cada uno «Lazo, señal, entradas»: dónde está el lazo, qué señal piden, cuántas entradas hay.
  2. Minutos 5 a 35: el punto 1. Vale 40 % y es una cadena: si el inciso (a) queda mal, se cae todo. Revisa G(s) antes de seguir.
  3. Minutos 35 a 80: el punto 2. Vale 60 %. Apaga una entrada, resuelve, apaga la otra, resuelve, suma.
  4. Minutos 80 a 90: chequeos. Unidades en cada número, polos antes de cada valor final, y una frase que diga qué significa cada resultado.
90:00 Cuando le des a «Empezar», celular boca abajo y solo papel, lápiz y calculadora.
Qué puedes tener a la mano

Lo mismo que en el parcial: calculadora y una hoja de fórmulas. Si todavía no la tienes, la hoja resumen para imprimir de este simulacro trae las fórmulas en la segunda página (el PDF está en tu carpeta de Control, en «Claude outputs»).

2 Calentamiento: mueve la ganancia antes de empezar

Cinco minutos, sin lápiz. El lazo es una ganancia K en serie con 1/(s(s+2)) y realimentación unitaria, así que T(s) = K/(s^2 + 2s + K). Mueve K y mira qué cambia y qué se queda quieto. Lo que veas aquí es la idea que decide el último inciso del punto 2.

Qué significa cada símbolo
K
ganancia que mueves con el deslizador 1/s² en este lazo
T(s)
función de transferencia de lazo cerrado, salida sobre referencia sin unidades
\sigma
parte real de los polos sin el signo: qué tan rápido se apaga la oscilación s⁻¹
t_s
tiempo de asentamiento: desde ahí la salida no se sale de la banda de ±2 % s
K 5,0
salida y(t) referencia r = 1 banda del 2 % × polos del lazo cerrado
Mnemotecnia «La ganancia sube los polos, no los corre.» Cuando K solo aparece en el término independiente de s^2 + 2s + K, la parte real de los polos es siempre -2/2 = -1: los polos suben y bajan por una recta vertical. Por eso t_s = 4/\sigma = 4\ \text{s} casi no cambia, y lo único que crece es la oscilación. Se verifica en la tabla: mueve el deslizador de un extremo al otro y mira la columna de \sigma.
Lo que te llevas

Si la ganancia no toca el coeficiente de s, no puedes comprar rapidez con ella: solo cambias error por sobreimpulso.

3 Punto 1 (40 %): el motor de la antena

Enunciado

Un motor DC gira el plato de una antena. La entrada es el voltaje v_i(t) en voltios y la salida es el ángulo del plato \theta(t) en radianes. El modelo es:

\begin{gathered}\frac{K_m K_a}{R}\,v_i(t) - \frac{K_m K_b}{R}\,\dot\theta(t) \\[6pt] = J\,\ddot\theta(t)\end{gathered}

con K_m = 2\ \text{N}\cdot\text{m/A}, K_a = 20, R = 4\ \Omega, K_b = 0{,}3\ \text{V}\cdot\text{s/rad} y J = 0{,}01\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Qué significa cada símbolo
v_i(t)
voltaje que le entra al amplificador: la entrada V
\theta(t)
ángulo del plato: la salida. \dot\theta es su velocidad y \ddot\theta su aceleración rad
K_m
constante de par del motor N·m/A
K_a
ganancia del amplificador sin unidades
R
resistencia de la armadura Ω
K_b
constante de fuerza contraelectromotriz V·s/rad
J
momento de inercia del plato kg·m²

Después el lazo se cierra con realimentación unitaria, así:

desliza el diagrama →

(a) Función de transferencia en lazo abierto G(s) = \Theta(s)/V_i(s), escrita como K/(s(s+p)) · 6 puntos

rad/(V·s²)
s⁻¹

(b) Con el lazo cerrado: frecuencia natural y amortiguamiento · 10 puntos

rad/s
—

(c) Tiempo de asentamiento (criterio del 2 %) y sobreimpulso · 10 puntos

s
%

(d) Error en estado estacionario · 8 puntos

rad
rad

(e) El sobreimpulso es muy alto. ¿Qué K_a deja \zeta = 0{,}6? Di en una frase qué se paga por eso · 6 puntos

—

4 Punto 2 (60 %): la banda transportadora

Enunciado

El diagrama controla la velocidad de una banda transportadora. r(t) es la velocidad pedida y y(t) la velocidad real, las dos en \text{m/s}. El controlador con su actuador es K(s) = B/(s+8) y entrega una fuerza en newtons. Las cajas que caen sobre la banda son una fuerza de carga d(t) que entra restando después del controlador. La banda es 1/(Ms) con M = 0{,}5\ \text{kg} de masa equivalente. La realimentación es unitaria.

Qué significa cada símbolo
r(t),\ R(s)
velocidad pedida (referencia) m/s
y(t),\ Y(s)
velocidad real de la banda (salida) m/s
e = r - y
error: lo que le falta a la banda para ir a la velocidad pedida m/s
u(t),\ U(s)
fuerza que ordena el controlador N
d(t),\ D(s)
fuerza de carga de las cajas (perturbación) N
B
ganancia del controlador N/m
M
masa equivalente de la banda kg

desliza el diagrama →

R referencia E error U fuerza del controlador D carga Y velocidad lo que vuelve

(a) Error en estado estacionario e = r - y con r escalón unitario y d(t) = 0{,}2\ \text{N} constante. Deja el resultado en función de B y evalúalo en B = 16 · 20 puntos

m/s
m/s
m/s

(b) Sensibilidad de T(s) = Y(s)/R(s) respecto a B · 15 puntos

—

(c) Escoge B para que el error total sea como mucho 0{,}05\ \text{m/s} y el sobreimpulso ante r no pase de 20\ \%. Justifica · 25 puntos

N/m
%
s

5 Entrega y calificación

Escribe los números con coma o con punto, como te salgan. Se acepta un 2 % de diferencia por redondeo. Lo que dejes vacío cuenta como no respondido. Puedes entregar una sola vez; después se abren las soluciones.

Tu resultado
Todavía no has entregado.
La nota de aquí no mide el procedimiento

En el parcial real un inciso con el número mal pero el camino bien recibe casi todos los puntos, y un número bien sin procedimiento recibe pocos. Después de entregar, compara tu hoja con las soluciones paso por paso, no solo el resultado.

6 Soluciones paso a paso

🔒 Se abren cuando entregues en la sección 5.

7 Ahora tú: tres variantes

El parcial no va a repetir este simulacro: va a cambiarle una cosa. Estas son las tres variaciones más probables. Cada una tiene pistas que se destapan de a una.

8 Ponte a prueba

Siete preguntas sobre los errores que más puntos cuestan en este tipo de parcial.

9 La receta para el día del parcial

  1. Lee los dos puntos completos antes de escribir. Al lado de cada uno: «Lazo, señal, entradas».
  2. Punto con ecuación diferencial: Laplace con condiciones iniciales cero, despeja salida sobre entrada y cuenta las s del sótano para saber el tipo.
  3. Cierra el lazo: directo sobre uno más la vuelta completa.
  4. «Divide, iguala, lee»: de ahí salen \omega_n, \zeta y \sigma = \zeta\omega_n.
  5. t_s = 4/\sigma (se divide), \%PO = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}.
  6. Polos primero, después valor final. Con perturbación: apaga una, resuelve, apaga la otra, resuelve, suma.
  7. Si te piden escoger una ganancia: cada requisito es una desigualdad. «El error pide ganancia; el sobreimpulso la cobra.»
  8. Si la ganancia solo está en el término independiente, t_s no depende de ella: «La ganancia sube los polos, no los corre.» Dilo en la justificación.
  9. Cada número con unidades y una frase de qué significa. Guarda diez minutos para esto.
Si solo te llevas tres frases

1. «Divide, iguala, lee.»

2. «La ganancia sube los polos, no los corre.»

3. «El error pide ganancia; el sobreimpulso la cobra.»

Responde las siete preguntas para cerrar el simulacro.

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Laplace con condiciones iniciales cero: \dot\theta \to s\Theta y \ddot\theta \to s^2\Theta. Los dos coeficientes son K_mK_a/R = 2\cdot 20/4 = 10 y K_mK_b/R = 2\cdot 0{,}3/4 = 0{,}15.

\begin{gathered}10\,V_i - 0{,}15\,s\,\Theta = 0{,}01\,s^2\,\Theta \\[6pt] 10\,V_i = (0{,}01s^2 + 0{,}15s)\,\Theta \\[6pt] G(s) = \frac{\Theta}{V_i} = \frac{10}{0{,}01s^2 + 0{,}15s} \\[6pt] = \frac{1000}{s^2 + 15s} = \frac{1000}{s(s+15)}\end{gathered}

El segundo renglón sale de pasar 0{,}15\,s\,\Theta al otro lado y sacar \Theta como factor común. El último, de multiplicar arriba y abajo por 100 para que el s^2 quede solo. Entonces K = 1000\ \text{rad/(V}\cdot\text{s}^2) y p = 15\ \text{s}^{-1}.

ChequeoHay una s en el sótano: tipo 1. Tiene sentido físico: con un voltaje constante el plato no se queda quieto en un ángulo, gira sin parar.
El error de este paso

Dejar 10/(0{,}01s^2+0{,}15s) y leer de ahí «\omega_n^2 = 10». Todavía no hay lazo cerrado y el s^2 no está solo. No leas nada hasta el inciso (b).

Realimentación unitaria con el sumador en menos:

\begin{gathered}T(s) = \frac{G}{1+G} = \frac{\dfrac{1000}{s(s+15)}}{1 + \dfrac{1000}{s(s+15)}} \\[8pt] = \frac{1000}{s(s+15) + 1000} \\[8pt] = \frac{1000}{s^2 + 15s + 1000}\end{gathered}se multiplicó arriba y abajo por s(s+15)

El s^2 ya está solo. Se iguala con s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2:

\begin{gathered}\omega_n = \sqrt{1000} = 31{,}62\ \text{rad/s} \\[6pt] \zeta = \frac{15}{2\cdot 31{,}62} = 0{,}237\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
\omega_n
frecuencia natural: qué tan rápido oscilaría sin amortiguamiento rad/s
\zeta
factor de amortiguamiento: entre 0 y 1 oscila, cerca de 0 oscila mucho sin unidades
\sigma = \zeta\omega_n
qué tan rápido se apaga la oscilación; es la parte real de los polos sin el signo s⁻¹

Polos: la parte real es -\zeta\omega_n = -15/2 = -7{,}5 y la imaginaria es \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 31{,}62\cdot 0{,}9715 = 30{,}72\ \text{rad/s}, así que s = -7{,}5 \pm j30{,}72. Parte real negativa: estable. Con \zeta = 0{,}237 es un sistema muy poco amortiguado.

\begin{gathered}\sigma = \zeta\omega_n = 7{,}5\ \text{s}^{-1} \\[6pt] t_s = \frac{4}{\sigma} = \frac{4}{7{,}5} = 0{,}533\ \text{s}\end{gathered}
\begin{gathered}\%PO = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \\[6pt] = 100\,e^{-\pi\cdot 0{,}2372/0{,}9715} = 46{,}4\ \%\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
t_s
tiempo de asentamiento con el criterio del 2 % s
\%PO
sobreimpulso: cuánto se pasa el primer pico del valor final, en porcentaje de ese valor %
\sqrt{1-\zeta^2}
aquí vale \sqrt{1 - 0{,}2372^2} = 0{,}9715 sin unidades

Qué significa: el plato se pasa del ángulo pedido casi la mitad y tarda medio segundo en calmarse. La simulación da 46,4 % y 0,52 s (la fórmula 4/\sigma es una aproximación).

El error de este paso

Multiplicar en vez de dividir: 4\cdot 7{,}5 = 30\ \text{s}. Chequeo rápido: el periodo de la oscilación es 2\pi/30{,}72 = 0{,}20\ \text{s}; un sistema así no puede tardar 30 s (150 ciclos) en calmarse con \zeta = 0{,}24.

El lazo cerrado es estable (inciso b), así que el valor final se puede usar. G es tipo 1 y H = 1, entonces vale la tabla:

\begin{gathered}\text{escalón: } e_{ss} = 0\ \text{rad} \\[6pt] K_v = \lim_{s\to 0} s\,G(s) = \lim_{s\to 0} \frac{1000}{s+15} \\[6pt] = \frac{1000}{15} = 66{,}7\ \text{s}^{-1} \\[6pt] \text{rampa: } e_{ss} = \frac{1\ \text{rad/s}}{K_v} = 0{,}015\ \text{rad}\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
e_{ss}
error en estado estacionario: lo que queda de r - \theta cuando ya pasó el transitorio rad
K_v
constante de error de velocidad; solo es un número finito cuando el lazo es tipo 1 s⁻¹

Qué significa: ante un ángulo fijo el plato llega exacto. Si el ángulo pedido avanza a 1 rad/s, el plato lo sigue con 0,015 rad de retraso (0,86°) para siempre.

ChequeoSimulando la rampa, r(t) - \theta(t) termina en 0,0150 rad ✓. Y con una rampa de 2 rad/s el error sería el doble, 0,03 rad: el error de rampa es proporcional a la pendiente.

Con K_a libre, K_mK_a/R = 0{,}5K_a y G = 50K_a/(s(s+15)). El lazo cerrado es s^2 + 15s + 50K_a: K_a solo aparece en el término independiente.

\begin{gathered}2\zeta\omega_n = 15 \\[6pt] \omega_n = \frac{15}{2\cdot 0{,}6} = 12{,}5\ \text{rad/s} \\[6pt] 50K_a = \omega_n^2 = 12{,}5^2 = 156{,}25 \\[6pt] K_a = \frac{156{,}25}{50} = 3{,}125\end{gathered}

Con eso el sobreimpulso baja a 100\,e^{-\pi\cdot 0{,}6/0{,}8} = 9{,}5\ \%. Lo que se paga: K_v = 156{,}25/15 = 10{,}4\ \text{s}^{-1}, y el error de rampa sube de 0,015 a 0,096 rad, unas 6,4 veces más. El tiempo de asentamiento no cambia (\sigma = 7{,}5 en los dos casos).

ChequeoMira la gráfica de abajo: las dos curvas entran a la banda del 2 % casi al mismo tiempo, aunque una oscila mucho más.

La vuelta completa es K(s)\cdot\dfrac{1}{Ms} = \dfrac{B}{(s+8)\,0{,}5s}. La ecuación característica, igual para r y para d:

\begin{gathered}1 + \frac{B}{0{,}5s(s+8)} = 0 \\[6pt] 0{,}5s^2 + 4s + B = 0 \\[6pt] s^2 + 8s + 2B = 0\end{gathered}primero se multiplicó por 0{,}5s(s+8); después, por 2

Segundo orden con todos los coeficientes positivos: estable para todo B \gt 0. El valor final se puede usar.

Con d = 0 queda un lazo unitario con G = B/(0{,}5s(s+8)). Una s en el sótano: tipo 1.

e_{ss,r} = 0\ \text{m/s}

Con la cuenta larga da lo mismo: E/R = 1/(1+G) = 0{,}5s(s+8)/(0{,}5s(s+8)+B), y \lim_{s\to0} s\cdot E/R\cdot 1/s = 0.

Con r = 0, la entrada es D y entra con signo menos. Camino directo de D a Y: -1/(Ms). La vuelta completa es la misma de antes.

\begin{gathered}\frac{Y}{D} = \frac{-\dfrac{1}{0{,}5s}}{1 + \dfrac{B}{0{,}5s(s+8)}} \\[8pt] = \frac{-(s+8)}{0{,}5s(s+8) + B}\end{gathered}se multiplicó arriba y abajo por 0{,}5s(s+8)

Como r = 0, el error es e = r - y = -y:

\begin{gathered}e_{ss,d} = \lim_{s\to 0} s\,\bigl(-Y(s)\bigr) \\[6pt] = \lim_{s\to 0} s\cdot\frac{s+8}{0{,}5s(s+8)+B}\cdot\frac{0{,}2}{s} \\[6pt] = \frac{8\cdot 0{,}2}{B} = \frac{1{,}6}{B}\ \text{m/s}\end{gathered}
Qué significa cada símbolo
e_{ss,d}
error que queda para siempre por culpa de la carga m/s
B
ganancia del controlador: cuántos newtons por segundo ordena por cada m/s de error N/m
0{,}2/s
la carga constante de 0,2 N, escrita en Laplace N·s

Con B = 16: e_{ss,d} = 0{,}1\ \text{m/s}. El signo es positivo: r - y \gt 0, la banda queda más lenta de lo pedido. Tiene sentido: las cajas la frenan.

El error de este paso

Decir «es tipo 1, entonces el error es cero» también para d. El integrador está en la banda, después del punto donde entra la carga. La perturbación solo le teme a lo que está antes de ella (taller 9), y antes solo está B/(s+8), que en s = 0 vale B/8: finito. Por eso queda 0{,}2/(B/8) = 1{,}6/B.

\begin{gathered}e_{ss} = e_{ss,r} + e_{ss,d} = 0 + \frac{1{,}6}{B} \\[6pt] B = 16:\quad e_{ss} = \frac{1{,}6}{16} = 0{,}1\ \text{m/s}\end{gathered}
ChequeoSimulando las dos entradas al tiempo con B = 16, la banda termina en 0,900 m/s: error 0,100 ✓. Y la suma de las dos simulaciones por separado coincide con la conjunta hasta la decimotercera cifra.

Primero T en una sola fracción: T = \dfrac{B}{0{,}5s(s+8)+B}. Llama q = 0{,}5s(s+8) para derivar cómodo, y usa la regla del cociente (derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, sobre abajo al cuadrado):

\begin{gathered}\frac{\partial T}{\partial B} = \frac{(q+B) - B}{(q+B)^2} = \frac{q}{(q+B)^2} \\[8pt] \frac{B}{T} = B\cdot\frac{q+B}{B} = q+B \\[8pt] S_B^T = \frac{\partial T}{\partial B}\cdot\frac{B}{T} \\[8pt] = \frac{q}{(q+B)^2}\cdot (q+B) = \frac{q}{q+B}\end{gathered}
S_B^T(s) = \frac{0{,}5\,s(s+8)}{0{,}5\,s(s+8) + B}
Qué significa cada símbolo
S_B^T
sensibilidad de T respecto a B: qué porcentaje cambia T por cada 1 % que cambia B sin unidades
T(s) = Y/R
función de transferencia de lazo cerrado de la referencia a la salida sin unidades
q = 0{,}5s(s+8)
abreviatura de la parte del denominador que no tiene a B N/m

En s = 0 vale 0. Qué significa: en estado estable, la salida ante r no depende de B (siempre llega a 1). A frecuencias altas tiende a 1: ahí un 10 % de cambio en B es un 10 % de cambio en T.

ChequeoEs la forma 1/(1+GH) del taller 5, porque B está en el camino directo: 1/(1 + B/q) = q/(q+B) ✓.
\begin{gathered}\frac{1{,}6}{B} \le 0{,}05 \\[6pt] B \ge \frac{1{,}6}{0{,}05} = 32\ \text{N/m}\end{gathered}

Paso a paso: se multiplicó por B, que es positivo, y quedó 1{,}6 \le 0{,}05\,B; después se dividió por 0{,}05. Qué significa: el error le pone un piso a la ganancia.

De s^2 + 8s + 2B: \omega_n = \sqrt{2B} y \zeta = 8/(2\omega_n) = 4/\sqrt{2B}. Para 20 % se necesita \zeta \ge 0{,}456:

\begin{gathered}\frac{4}{\sqrt{2B}} \ge 0{,}456 \\[6pt] \sqrt{2B} \le \frac{4}{0{,}456} = 8{,}77 \\[6pt] B \le \frac{8{,}77^2}{2} = 38{,}5\ \text{N/m}\end{gathered}

El 0{,}456 sale de despejar \zeta en e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} = 0{,}2: \zeta = \dfrac{-\ln 0{,}2}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2 0{,}2}} = \dfrac{1{,}609}{3{,}530} = 0{,}456. La desigualdad se voltea al despejar porque \sqrt{2B} estaba dividiendo. Qué significa: el sobreimpulso le pone un techo a la ganancia.

Sirve cualquier B entre 32 y 38,5. Se escoge B = 32: cumple el error justo y deja el mayor margen de sobreimpulso.

\begin{gathered}\omega_n = \sqrt{2\cdot 32} = 8\ \text{rad/s} \\[6pt] \zeta = \frac{4}{8} = 0{,}5 \\[6pt] \%PO = 100\,e^{-\pi\cdot 0{,}5/0{,}866} = 16{,}3\ \% \\[6pt] t_s = \frac{4}{\sigma} = \frac{4}{4} = 1\ \text{s} \\[6pt] e_{ss} = \frac{1{,}6}{32} = 0{,}05\ \text{m/s}\end{gathered}

La justificación completa lleva una frase más: t_s no depende de B porque \sigma = 8/2 = 4\ \text{s}^{-1} siempre, así que subir B no hace la banda más rápida; solo baja el error y sube el sobreimpulso.

ChequeoSimulación con B = 32: sobreimpulso 16,3 %, asentamiento 1,01 s, error final 0,0500 m/s ✓. Unidades de B: B/(s+8) convierte m/s en N, así que B va en N/m.
Al plato le montan una antena más pesada y la inercia se duplica: J = 0{,}02\ \text{kg}\cdot\text{m}^2. Todo lo demás igual (K_a = 20). Halla \omega_n, \zeta, t_s y el sobreimpulso. ¿Mejoró o empeoró?
Vuelve a hacer el inciso (a): ahora el denominador es 0{,}02s^2 + 0{,}15s. Divide arriba y abajo por 0,02.
G = 500/(s(s+7{,}5)), y el lazo cerrado es s^2 + 7{,}5s + 500. Divide, iguala, lee.
\omega_n = \sqrt{500} = 22{,}36\ \text{rad/s}, \zeta = 7{,}5/(2\cdot 22{,}36) = 0{,}168, \sigma = 3{,}75\ \text{s}^{-1}, t_s = 4/3{,}75 = 1{,}07\ \text{s} y sobreimpulso 58,6 %. Empeoró en todo: más inercia es un plato más lento (el doble de t_s) y que se pasa más. El error de rampa no cambia: K_v = 500/7{,}5 = 66{,}7, el mismo.
En la banda, ningún B deja el error en cero. Cambia el controlador por K(s) = B(s+2)/s con B = 8. (a) ¿Es estable? (b) ¿Cuánto vale ahora el error por d = 0{,}2\ \text{N}?
Primero polos. La vuelta completa es B(s+2)/(s\cdot 0{,}5s). Escribe 1 + \text{vuelta} = 0 y quita denominadores.
Queda 0{,}5s^2 + 8s + 16 = 0: coeficientes positivos, estable. Ahora Y/D = -\dfrac{1/(0{,}5s)}{1 + \text{vuelta}}.
Multiplica arriba y abajo por 0{,}5s^2: Y/D = -s/(0{,}5s^2 + 8s + 16). Aplica el valor final con D = 0{,}2/s.
(a) Polos de s^2 + 16s + 32: -2{,}34 y -13{,}66. Estable. (b) e_{ss,d} = \lim_{s\to0} s\cdot\dfrac{s}{0{,}5s^2+8s+16}\cdot\dfrac{0{,}2}{s} = 0. Ahora sí hay un integrador antes de la carga, y ese es el que la borra. Ojo con la tentación de poner solo B/s: quedaría 0{,}5s^2 + B = 0, polos sobre el eje imaginario, la banda oscilaría para siempre y el valor final no se podría usar. Por eso el cero en s = -2.
En el punto 1, el sensor de ángulo queda mal calibrado y entrega la mitad: H = 0{,}5. Con G = 1000/(s(s+15)) y un escalón unitario de referencia, ¿en cuánto termina \theta? ¿Cuánto vale el error de verdad r - \theta y cuánto la señal que sale del sumador?
Directo sobre uno más la vuelta completa, y la vuelta ahora es G\cdot H.
T = 1000/(s^2 + 15s + 500). Estable. Valor final: T(0).
\theta_{ss} = T(0) = 1000/500 = 2\ \text{rad}. El error de verdad es 1 - 2 = -1\ \text{rad}: el plato se pasa el doble. La señal que sale del sumador es r - 0{,}5\,\theta = 1 - 1 = 0: el lazo «cree» que llegó. El sumador no siempre te dice el error (taller 6).