Escoger la ganancia: de los requisitos al K que cumple
Hasta ahora te daban la ganancia y tú calculabas qué pasaba. El último inciso del parcial lo voltea: te dan lo que se quiere (poco sobreimpulso, que se asiente rápido, poco error) y tú escoges el número y lo justificas. Aquí aprendes a convertir cada requisito en un intervalo de K y a ver de un vistazo si se pueden cumplir todos.
⏱ 75 minutos- RouthEl rango estable de K sale de exigir que la primera columna no cambie de signo, con b=\frac{-1}{\text{pivote}}\left|\cdots\right|.
- CruzaIntersecta ese rango con lo que piden el error y el transitorio. Si no hay intersección, la respuesta es «no es posible con K solo».
1 Para qué sirve esto y cuándo se usa
Úsalo cuando el enunciado, en vez de preguntar «¿cuánto vale?», diga «escoja», «seleccione», «determine el valor de K para que…», «¿qué ganancia recomienda?» o «justifique». En el parcial de 2025 fue el cierre del punto del tanque; en el parcial de 2025-I fueron las preguntas 7 y 8 (escoger el controlador para un error dado, resueltas en el taller 8).
La idea que ordena todo: un requisito no te da un número, te da una desigualdad. «Sobreimpulso de máximo 10 %» no dice cuánto vale K; dice de qué valor no puede pasar. Cuando juntas todas las desigualdades te queda un intervalo, y cualquier K de ese intervalo sirve. Si el intervalo queda vacío, los requisitos chocan, y eso también es una respuesta que da puntos si la explicas.
- Cierra el lazo y escribe el denominador con K adentro. Divide por el coeficiente de s^2 y lee \omega_n y \zeta en función de K.
- Traduce cada requisito a una desigualdad en K, uno por renglón: sobreimpulso, tiempo, error.
- Pon los intervalos uno debajo del otro sobre la misma recta y mira dónde se pisan.
- Escoge un K de la zona común, comprueba los tres números con ese K y escribe qué sacrificas.
2 El simulador: mueve K y mira qué requisitos se cumplen
Es un control de posición con realimentación unitaria: el lazo es L(s) = \dfrac{K}{s\,(s+p)} (un motor con su integrador, como el de la válvula del parcial). Abajo pones los tres requisitos; arriba mueves K. Tu meta: dejar los tres letreros en verde. Empieza con los valores que trae.
- L(s)
- lazo abierto: todo lo que encuentra la señal dando la vuelta completa [sin unidades]
- K
- ganancia: el número que tú escoges [1/s²]
- p
- polo de la planta: viene dado por el motor [1/s]
- t_s
- tiempo de asentamiento con el criterio del 2 % [s]
- e_{ss} = p/K
- error que queda al seguir una rampa de pendiente 1 [las unidades de la salida]
Dónde están los polos (plano s)
Qué K permite cada requisito
Respuesta al escalón
1. Al subir K los polos primero se juntan sobre el eje real y después suben en vertical, siempre en -p/2. Por eso el tiempo de asentamiento casi no cambia con K: lo que cambia es el ángulo, o sea el sobreimpulso.
2. El sobreimpulso le pone a K un techo; el error le pone un piso. Tiran para lados contrarios. Baja el error máximo a 0,10 y mira cómo la zona verde de la recta desaparece.
3. Pon p = 2 y pide t_s \le 1{,}5\ \text{s}: ningún K lo logra. La pared no la mueve la ganancia.
3 Cada requisito es una frontera en el plano s
Las fórmulas de segundo orden las dedujiste en el taller 7. Aquí se usan al revés: en vez de entrar con los polos y salir con el sobreimpulso, entras con el sobreimpulso permitido y sales con la zona donde pueden estar los polos. Los polos son s = -\sigma \pm j\omega_d.
Ejemplo: sobreimpulso \le 10\ \%, t_s \le 2\ \text{s} y t_p \le 1\ \text{s}. La zona verde es donde se cumplen los tres a la vez. Se dibuja la mitad de arriba; la de abajo es su espejo.
Sobreimpulso → un ángulo
El despeje, sin saltarse nada. Llama \ell = \ln(100/M) para no cargar el logaritmo:
Ejemplo con M = 10\ \%: \ell = \ln 10 = 2{,}303 y \zeta_{\min} = 2{,}303/\sqrt{\pi^2 + 2{,}303^2} = 2{,}303/3{,}895 = 0{,}591. Menos sobreimpulso pide más amortiguamiento, por eso la desigualdad queda \zeta \ge \zeta_{\min}.
- \%PO
- sobreimpulso: cuánto se pasa el primer pico del valor final [%]
- M
- sobreimpulso máximo permitido [%]
- \zeta
- factor de amortiguamiento [sin unidades]
- \theta
- ángulo entre el eje real negativo y la línea que va del origen al polo; \cos\theta = \zeta [grados o rad]
Como nadie despeja ese logaritmo con afán, llévate la tabla. Sale de la fórmula y está comprobada de vuelta (meter cada \zeta en la fórmula del sobreimpulso devuelve el porcentaje de la primera columna).
| Sobreimpulso máx. | \zeta mínimo | \theta máximo |
|---|---|---|
| 2 % | 0,780 | 38,8° |
| 4,3 % | 0,707 | 45,0° |
| 5 % | 0,690 | 46,4° |
| 10 % | 0,591 | 53,8° |
| 15 % | 0,517 | 58,9° |
| 16,3 % | 0,500 | 60,0° |
| 20 % | 0,456 | 62,9° |
| 25 % | 0,404 | 66,2° |
Tiempo de asentamiento → una pared
- t_s
- tiempo de asentamiento: desde ahí la salida no se sale de la banda de ±2 % [s]
- \sigma = \zeta\omega_n
- distancia de los polos al eje imaginario (su parte real, sin el signo) [1/s]
Los polos tienen que quedar a la izquierda de la línea vertical en -4/t_{s,\max}. Con t_s \le 2\ \text{s}, la pared está en -2.
Tiempo de pico → una altura
- t_p
- tiempo en el que la salida llega a su primer máximo [s]
- \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
- frecuencia de la oscilación amortiguada: la altura del polo sobre el eje real [rad/s]
Creer que «más a la izquierda» arregla el sobreimpulso. El polo -2{,}5 + j4 está a la izquierda de la pared de -2 (se asienta en 4/2{,}5 = 1{,}6\ \text{s}), pero su ángulo es \arctan(4/2{,}5) = 58{,}0^\circ, mayor que los 53{,}8^\circ que permite el 10 %. Su amortiguamiento es \zeta = \cos 58{,}0^\circ = 0{,}530, menor que el 0{,}591 de la tabla, y eso da 14,0 % de sobreimpulso. El ángulo y la pared son requisitos separados y hay que revisar los dos.
Requisito de forma (sobreimpulso) → ángulo. Requisito de rapidez → pared o altura. Los polos tienen que caer donde se pisan todas las zonas.
4 De la frontera al intervalo de K
El plano s te dice dónde deben estar los polos. Falta saber dónde los pone cada K. Para el lazo del simulador se cierra con «directo sobre uno más la vuelta completa» (taller 5):
Igualando término a término, sin saltarse nada:
- K
- ganancia que tú escoges [1/s² en este lazo]
- p
- polo de la planta; viene dado, no se escoge [1/s]
- \omega_n
- frecuencia natural: distancia del polo al origen [rad/s]
- \zeta
- factor de amortiguamiento [sin unidades]
- \sigma
- parte real de los polos, sin el signo [1/s]
- K_v = \lim_{s\to 0} sL(s) = K/p
- constante de error de velocidad [1/s]
Mira lo que dicen esas tres igualdades: K manda en \omega_n y en \zeta, pero no aparece en \sigma. Ahora cada requisito se vuelve un renglón:
| Requisito | Desigualdad | Lo que le pide a K | Con p = 8 |
|---|---|---|---|
| Sobreimpulso \le 10\ \% | \dfrac{p}{2\sqrt K} \ge 0{,}591 | K \le \left(\dfrac{p}{2\,\zeta_{\min}}\right)^2 (techo) | K \le 45{,}8 |
| Error de rampa \le 0{,}2 | \dfrac{1}{K_v} = \dfrac{p}{K} \le 0{,}2 | K \ge \dfrac{p}{e_{\max}} (piso) | K \ge 40 |
| t_s \le 1{,}5\ \text{s} | \dfrac{p}{2} \ge \dfrac{4}{1{,}5} | nada, mientras haya oscilación: es una condición sobre p | 4 \ge 2{,}67 ✓ |
Zona común: 40 \le K \le 45{,}8. Es estrecha, pero existe. Cualquier valor de ahí cumple los tres requisitos; por ejemplo K = 44 da \zeta = 0{,}603, sobreimpulso de 9,30 %, error de rampa de 8/44 = 0{,}182 y t_s = 4/4 = 1{,}00\ \text{s} (la simulación da 0,90 s).
K está en el denominador de \zeta, así que al despejar la desigualdad se voltea: \frac{p}{2\sqrt K} \ge 0{,}591 pasa a \sqrt K \le \frac{8}{2\cdot 0{,}591} = 6{,}77, y al elevar al cuadrado, K \le 45{,}8. Quien escribe K \ge 45{,}8 y escoge K = 80 «para ir sobrado» obtiene 20,8 % de sobreimpulso, el doble de lo permitido.
Lee \omega_n y \zeta en función de K, convierte cada requisito en techo o piso, y mira si el piso queda por debajo del techo.
5 Cuando los requisitos chocan, y cómo se justifica
Mismo lazo, p = 8, pero ahora piden error de rampa de máximo 0,10. El piso sube a K \ge 8/0{,}10 = 80 y el techo sigue en 45{,}8. El piso quedó por encima del techo:
No hay ningún K que cumpla los dos. No es un error tuyo: es el resultado, y hay que decirlo así.
Tienes tres salidas, y en el parcial basta con escoger una y decir por qué:
1. Ceder en un requisito y decir cuál. Con K = 80 cumples el error (0,10) y el sobreimpulso queda en 20,8 %. Con K = 45{,}8 cumples el sobreimpulso (10 %) y el error queda en 0,175.
2. Agregar una pieza que te dé otro botón. Una realimentación de velocidad (tacómetro, taller 10) aumenta el amortiguamiento sin tocar K. Con dos botones sí se puede: está resuelto en la sección 6.
3. Cambiar el controlador por uno con más dinámica. Eso es tema del segundo parcial; aquí basta con nombrarlo.
La plantilla de la justificación
«Justifique» no es escribir un párrafo bonito: es mostrar los números de los dos lados de la balanza. Tres frases, siempre las mismas:
«Escojo K = \_\_. Cumple \_\_ (da \_\_, y pedían \le \_\_). El costo es \_\_, que queda en \_\_; lo acepto porque \_\_.»
Ejemplo con el choque de arriba: «Escojo K = 45{,}8. Cumple el sobreimpulso (10,0 %, pedían \le 10\ \%). El costo es el error de rampa, que queda en 0,175 en vez de 0,10; lo acepto porque en un posicionador un sobreimpulso del 21 % significa pasarse de la posición pedida, y un error de seguimiento un poco mayor no daña nada.»
La respuesta del tanque del parcial de 2025 (B = 39 contra B = 100) sigue exactamente esa plantilla y está paso a paso en el taller 9, sección 7.
Dar un solo número sin revisar los otros requisitos. Quien responde «K = 80, porque el error da 0,10» y no calcula el sobreimpulso deja sin decir que es 20,8 %. La mitad del puntaje del inciso está en ese segundo número.
Si el piso queda encima del techo, no hay K: se dice, se escoge qué ceder o qué pieza agregar, y se escribe con números.
6 Problemas resueltos
A · Taller de clase: dibujar la región polar deseada
Representa la región del plano s para: sobreimpulso de máximo 20 %, tiempo de asentamiento de máximo 10 s y tiempo de elevación de máximo 3 s. Ese taller usa otras dos convenciones: t_s \approx 4{,}5/\sigma y t_r \approx 1{,}8/\omega_n. Después di cuáles de estos polos sirven: A = -0{,}5 \pm j0{,}6, B = -0{,}3 \pm j0{,}4, C = -0{,}5 \pm j1{,}2.
El círculo es el requisito de tiempo de elevación: la distancia al origen es \omega_n. Verde: sirve. Rojo: no sirve.
B · Posicionador: escoger K entre un techo y un piso
Un motor mueve una antena. Con realimentación unitaria el lazo es L(s) = \dfrac{K}{s(s+8)}. Se pide sobreimpulso de máximo 10 % ante un escalón y error de máximo 0,2 rad ante una rampa de 1 rad/s. (a) Intervalo de K. (b) Escoge un valor y comprueba. (c) ¿Cuánto vale el tiempo de asentamiento y qué le pasa si cambias K?
C · El choque, resuelto con un tacómetro
El mismo posicionador, pero ahora el error de rampa debe ser de máximo 0,10 rad y el sobreimpulso de máximo 10 %. (a) Muestra que ningún K lo logra. (b) Se agrega una realimentación de velocidad K_t y el lazo queda L(s) = \dfrac{K}{s\,(s + 8 + K K_t)}. Encuentra una pareja (K, K_t) que cumpla los dos.
D · La pared que K no mueve
Lazo L(s) = \dfrac{K}{s(s+2)}, realimentación unitaria. Se pide t_s \le 1\ \text{s} (2 %). ¿Qué K lo cumple?
7 Ahora tú
Tres ejercicios. Intenta cada uno en papel antes de abrir la primera pista.
8 Ponte a prueba
9 La receta para el día del parcial
- Cierra el lazo y deja el denominador como s^2 + (\dots)s + (\dots), con el coeficiente de s^2 en 1.
- Lee \omega_n^2 (el término suelto) y 2\zeta\omega_n (el de s). Escribe \zeta y \sigma en función de K.
- Sobreimpulso máximo → \zeta_{\min} de la tabla (10 % → 0,591; 5 % → 0,690; 20 % → 0,456) → desigualdad → casi siempre un techo para K.
- Tiempo de asentamiento → \sigma \ge 4/t_{s,\max}. Mira si \sigma depende de K; si no depende, dilo.
- Error → K_p o K_v mínimo → un piso para K. Antes del valor final, polos a la izquierda.
- Dibuja la recta de K con los intervalos uno debajo del otro. ¿Se pisan?
- Escoge, comprueba los tres números con el K escogido y escribe la plantilla: escojo, cumple, el costo es.
1. «El sobreimpulso pide ángulo, el tiempo pide pared, el error pide ganancia.»
2. «Intervalo, elijo, compruebo, digo qué pago.»
Responde las ocho preguntas para cerrar el taller.
Siguiente: simulacro 1 del parcial →